2027학년도 신한대학교 약술형 논술 수학 실전 모의고사 제7회 문제집+해설집 (상 (고난도 변별))

• $n$이 홀수이면 $n - 4$의 부호에 관계없이 $f(n) = 1$이다.
• $n$이 짝수이면 $n < 4$일 때 $f(n) = 0$, $n = 4$일 때 $f(n) = 1$, $n > 4$일 때 $f(n) = 2$이다.

$n = 2$부터 $n = 8$까지 순서대로 $f(n)$을 구하면
$$\begin{aligned} &f(2)=0, \quad f(3)=1, \quad f(4)=1, \quad f(5)=1, \\ &f(6)=2, \quad f(7)=1, \quad f(8)=2 \end{aligned}$$
따라서 모든 항의 합은 $0 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 2 = 8$이다.

$2^x = t$로 치환하면 모든 실수 $x$에 대하여 $t > 0$이고, 주어진 부등식은
$$g(t) = t^2 - 4t + k = (t - 2)^2 + k - 4 \ge 0 \quad (t > 0)$$

대칭축 $t = 2 > 0$이므로 $t > 0$에서 함수 $g(t)$는 $t = 2$일 때 최솟값 $k - 4$을 갖는다.
따라서 $k - 4 \ge 0 \implies k \ge 4$이므로 $k$의 최솟값은 $4$이고, 그때 $2^x = 2 = 2^{1}$에서 $x = 1$이다.

주어진 방정식의 좌변을 인수분해하면
$$(2\cos x + 1)(\cos x - 1) = 0$$

$0 \le x \le 2\pi$에서 조건을 만족하는 실근은
$$x = 0, \; \dfrac{2\pi}{3}, \; \dfrac{4\pi}{3}, \; 2\pi$$
이므로 서로 다른 실근의 개수는 $4$개이고, 모든 실근의 합은 $4\pi$이다.

$$\begin{aligned} \cos B &= \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{8^2 + 5^2 - 7^2}{2 \times 8 \times 5} \\ &= \frac{40}{80}=\dfrac{1}{2} \end{aligned}$$

$0 < B < \pi$에서 $\sin B > 0$이므로 $\sin B = \sqrt{1 - \cos^2 B} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$이다.
따라서 사인법칙에 의하여 $2R = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{7}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}} \implies R = \dfrac{7\sqrt{3}}{3}$이다.

주어진 식에 $n = 1, 2, \dots, 9$를 차례로 대입하여 변변 더하면
$$a_{10} - a_1 = \sum_{k=1}^{9} (2k + 1)$$

$$a_{10} = 2 + 2 \times \frac{9 \times 10}{2} + 1 \times 9 = 2 + 90 + 9 = 101$$

$f(x)$는 $x = 1$과 $x = 3$에서 좌극한과 우극한이 서로 다르므로 불연속이다.

연속함수 $g(x)$에 대하여 $f(x)g(x)$가 $x = 1, \; x = 3$에서 연속이려면 $g(1) = 0, \; g(3) = 0$이어야 한다.
따라서 $g(x) = (x - 1)(x - 3) = x^2 + (-4)x + 3$이므로 $a = -4, \; b = 3$이다.

$f(x) = x^3 + 1x$, $g(x) = bx^2 + c$라 하면
• $f(1) = g(1) \implies 1 + 1 = b + c \implies b + c = 2$
• $f'(1) = g'(1) \implies 3 + 1 = 2b \implies b = 2, \; c = 0$

접점의 좌표는 $(1, 2)$이고 접선의 기울기는 $f'(1) = 4$이므로
$$y - 2 = 4(x - 1) \implies y = 4x - 2$$

$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x + 1)(x - 1) = 0$이므로
• $x = -1$에서 극댓값 $f(-1) = -1 + 3 + 1 = 3$
• $x = 1$에서 극솟값 $f(1) = 1 - 3 + 1 = -1$

$y = |f(x)|$의 그래프는 $x = -1$에서 극댓값 $3$, $x = 1$에서 극댓값 $|-1| = 1$을 갖는다.
따라서 직선 $y = k$가 곡선 $y = |f(x)|$와 서로 다른 $4$개의 점에서 만나려면 $1 < k < 3$이어야 한다.

$v(t) = 3t(t - 2) = 0$에서 $t > 0$일 때 $t = 2$의 좌우에서 $v(t)$의 부호가 음($-$)에서 양($+$)으로 바뀌므로 $t_1 = 2$이다.

$$\begin{aligned} s &= \int_{0}^{3} |3t^2 - 6t|\,dt \\ &= \int_{0}^{2} (6t - 3t^2)\,dt + \int_{2}^{3} (3t^2 - 6t)\,dt \end{aligned}$$
$$\quad = \Big[3t^2 - t^3\Big]_{0}^{2} + \Big[t^3 - 3t^2\Big]_{2}^{3} = 4 + 4 = 8$$

$f(x) = x^3 - 2x + 3$에서 $f'(1) = 1$이므로 점 $(1, 2)$에서의 접선 $l$의 방정식은 $y = x + 1$이다.

방정식 $x^3 - 2x + 3 = x + 1$을 정리하여 인수분해하면 $(x - (1))^2(x - (-2)) = 0$이므로 교점의 $x$좌표는 $x = -2, \; 1$이다.
$$S = \int_{-2}^{1} \left|(x - (1))^2(x - (-2))\right|\,dx = \frac{(1 - (-2))^4}{12} = \dfrac{27}{4}$$